高等数学（下）期末复习：16.1 线积分
有时为了计算出空间中一条曲线形状的线条的质量，或者是计算变力沿着某条曲线的做工，需要对这条曲线而非某个区间进行积分。于是我们引入线积分的概念（实际上路径积分这个词更准确）。
假设我们需要将实值函数 $f (x, y, z)$ 沿曲线 $C$ 进行积分，$C$ 处在 $f$ 的定义域内，且可被参数化为 $\mathbf r (t) = g (t)\mathbf i + h (t)\mathbf j + k (t)\mathbf k, a \le t \le b$。 $f$ 在路径上的函数值可以表达为 $f (g (t), h (t), k (t))$，现在需要将这个复合函数的根据从 $t = a$ 到 $t = b$ 的 arc length 进行求和。
首先，将曲线 $C$ 从 $t = a$ 到 $t = b$ 划分成 $n$ 条 subarcs，某一条 subarc 的长度为 $\Delta s_k$。在每一条 subarc 里选择一个点 $(x_k, y_k,z_k)$，则对应的黎曼和为
$$ S_n = \sum_{k=1}^n f(x_k, y_k, z_k)\Delta s_k. $$
定义：若 $f$ 为定义在可参数化为 $\mathbf r (t) = g (t)\mathbf i + h (t)\mathbf j + k (t)\mathbf k, a\le t\le b$ 的曲线 $C$ 上的函数，则 $f$ 在 $C$ 上的线积分为
$$ \int_C f(x, y, z)\mathop{ds} = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^n f(x_k, y_k, z_k)\Delta s_k $$
如果曲线 $C$ 在定义域上都是 smooth 的，也即 $\mathbf v = \mathop {d\mathbf r}/\mathop {dt}$ 连续且不为 $\mathbf 0$，并且函数 $f$ 在 $C$ 上也是连续的，那么可以证明上述的积分存在。可以通过运用微积分基本定理对 arc length 微分
$$ s(t) = \int_a^t |\mathbf{v}(\tau)|\mathop{d\tau} $$
重新代入积分式中，可以变形得到
$$ \int_C f(x, y, z)\mathop{ds} = \int_a^b f(g(t), h(t), k(t))|\mathbf v(t)|\mathop{dt}. $$
如何 evaluate 一个线积分
- 找到曲线 $C$ 的一个 smooth 参数化
$$ \mathbf r(t) = g(t)\mathbf i + h(t)\mathbf j + k(t)\mathbf k, \quad a \le t \le b. $$
- 根据下式 evaluate 线积分
$$ \int_C f(x, y, z)\mathop{ds} = \int_a^b f(g(t), h(t), k(t))|\mathbf{v}(t)|\mathop{dt}. $$
$f (g (t), h (t), k (t))$ 也可以写作 $f (\mathbf r (t))$。
可加性
如果一条曲线 $C$ 是 piecewise smooth 的，那么可以将不同区间上的积分相加
$$ \int_C f\mathop{ds} = \int_{C_1} f\mathop{ds} + \int_{C_2} f\mathop{ds} + \cdots + \int_{C_n} f\mathop{ds}. $$
两点之间的线积分可能随积分路径的改变而改变
质量与 moment 计算
假设一条螺旋型弹簧或是线的质量是随着一条空间中的 smooth 曲线均匀分布的，单位 arc length 上的质量可以连续地表达为 $\delta (x, y, z)$。曲线 $C$ 可以表达为连续的参数化 $\mathbf r (t) = g (t)\mathbf {i} + h (t)\mathbf j + k (t)\mathbf k, \quad a \le t \le b$，那么 arc length 微分可以由下式给出
$$ \mathop{ds} = \sqrt{ \left(\frac{\mathop{dx}}{\mathop{dt}}\right)^2 + \left(\frac{\mathop{dy}}{\mathop{dt}}\right)^2 + \left(\frac{\mathop{dz}}{\mathop{dt}}\right)^2 } \mathop{dt}. $$
这样一来质量就可以利用线积分来计算
$$ M = \int_a^b \delta (x(t),y(t),z(t))\sqrt{ \left(\frac{\mathop{dx}}{\mathop{dt}}\right)^2 + \left(\frac{\mathop{dy}}{\mathop{dt}}\right)^2 + \left(\frac{\mathop{dz}}{\mathop{dt}}\right)^2 } \mathop{dt}. $$
空间中 smooth 曲线 $C$ 上的螺旋弹簧、线与细杆的质量和 moment 公式
质量：$\displaystyle M = \int_C \delta\mathop{ds}$
关于坐标平面的 first moments：
$$ M_{yz} = \int_C x\delta\mathop{ds},\quad M_{xz} = \int_C y\delta\mathop{ds},\quad M_{xy} = \int_C z\delta\mathop{ds} $$
质心坐标：
$$ \bar x = M_{yz}/M, \quad \bar y = M_{xz}/M, \quad \bar z = M_{xy}/M $$
关于坐标轴和其他直线的转动惯量：
$$ \begin{aligned} & I_x \int_C (y^2 + z^2)\delta\mathop{ds}, \quad I_y \int_C (x^2 + z^2)\delta\mathop{ds}, \quad I_z \int_C (x^2 + y^2)\delta\mathop{ds}, \ \ & I_x \int_C r^2\delta\mathop{ds} \qquad r(x,y,z) = \text{distance from the point } (x,y,z) \text{ to line } L \end{aligned} $$
平面上的线积分
对于一个平面上的曲线的线积分，有一种很巧妙的几何 interpretation。如果 $C$ 是一条 $xy$- 平面上的可以被参数化为 $\mathbf r (t) = x (t)\mathbf i + y (ts)\mathbf j, a\le t\le b$ 的 smooth 曲线，通过沿着 $C$ 移动一条垂直于 $xy$ 平面的线段，我们可以由此生成一个 cylindrical 曲面 —— 线段的长度应当为 $f (x, y)$。
这样生成的图形有点类似于篱笆，这些「篱笆」的面积之和即为 $f$ 对曲线 $C$ 的线积分。
$$ \int_C f\mathop{ds} = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^n f(x_k, y_k)\Delta s_k $$