高等数学（下）期末复习：15.7 柱面和球面坐标系下的三重积分

15.7 柱面和球面坐标系^[1] 下的三重积分

为了简化一些问题，有时候需要将积分转换到柱面或者球面坐标系进行，转换的方法与 15.4 节中转换为极坐标的方法类似。

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柱面坐标系下的积分

将 $x\text {-} y$ 平面上的极坐标系与 $z$ 轴相结合，得到柱面坐标系。

定义：柱面坐标系以有序的 triples$(r,\theta,z)$，来表示空间中的一个点，其中 $r\ge 0$，

1. $r$ 与 $\theta$ 是点再 $x-y$ 平面上投影的极坐标
2. $z$ 是直角坐标系下的竖坐标

柱面坐标系的坐标与直角坐标系下的坐标有如下联系

$$ \begin{aligned} x = r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\ r^2=x^2+y^2,\quad \tan\theta=y/x \end{aligned}. $$

在柱面坐标系下，不同的坐标值为常数有不同的意义。$r$ 为常数代表一定半径的圆柱面，$\theta$ 为常数代表与 $x\text {-} z$ 平面成一定角度的包含 $z$ 轴的平面，$z$ 为常数代表一定高度的水平面。

在柱面坐标系下求三重积分，有关于 cell、norm 等的定义都于在直角坐标系下相似，不过进行切分的时候需要分为 wedge 形状而不是立方体，而它的体积则是在极坐标系的结论基础上乘上一个 $\Delta z$ 值

$$ \lim_{n\rightarrow\infty} S_n = \iiint_D f\mathop{dV} = \iiint_D f\mathop{dz}r\mathop{dr}\mathop{d\theta}. $$

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如何在柱面坐标系下进行积分

要 evaluate

$$ \iiint_D f(r,\theta,z)\mathop{dV}. $$

按照 $z$，$r$，$\theta$ 的顺序进行，有如下的几个步骤

1. 画图 - 画出积分区域以及其在 $x\text {-} y$ 平面上的投影 $R$（前文提到过的 shadow），标出围绕成 $D$ 和 $R$ 的曲面、曲线

2. 找到 $z$ 值的积分上下限 - 过一个普通的点 $r,\theta$，作与 $z$ 轴平行的直线，穿过 $D$。标记进入和穿出点的 $z$ 值，即为对 $z$ 进行积分的上下限

3. 找到对 $r$ 积分的上下限 - 作一条过原点与 $(r,\theta)$ 的射线，穿过区域 $R$，标记进入和离开区域的 $r$ 值，即为对 $r$ 进行积分的上下限

4. 找到对 $\theta$ 积分的上下限 - 也即整个 $R$ 区域（或者整个 $D$ 区域）所对应的最大和最小的 $\theta$ 值

三重积分可以被转化为

$$ \iiint_D f(r,\theta,z)\mathop{dV} = \int_{\theta=\alpha}^{\theta=\beta} \int_{r=h_1(\theta)}^{r=h_2(\theta)} \int_{z=g_1(r,\theta)}^{z=g_2(r,\theta)} f(r,\theta,z)\mathop{dz} r\mathop{dr}\mathop{d\theta}. $$

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球面坐标系与积分

定义：球面坐标系通过有序 triple$(\rho,\phi,\theta)$ 来表示空间中的一点 $P$

1. $\rho$ 表示 $P$ 到原点的距离（$\rho\ge 0$）
2. $\phi$ 为 $\overrightharpoon {OP}$ 与 $z$ 轴正方向所成的夹角（$0\le\phi\le\pi$）
3. $\theta$ 从柱面坐标系中得来

在球面坐标系中，$\rho$ 值为常数代表一定半径的球面;$\phi$ 值为常数代表一定张角的锥面，钝角或锐角则决定锥面开口的方向；$\theta$ 为常数代表与 $x\text {-} z$ 成一定夹角的平面。

联系球面坐标系与笛卡尔坐标系、柱面坐标系的公式

$$ \begin{aligned} r = \rho\sin\phi,\quad x = r\cos\theta = \rho\sin\phi\cos\theta, \ z = \rho\cos\phi,\quad y = r\sin\theta = \rho\sin\phi\sin\theta, \ \rho = \sqrt{x^2 + y^2 +z^2} = \sqrt{r^2 +z^2}. \end{aligned} $$

球面坐标系下对应的黎曼和极限为

$$ \lim_{n\rightarrow\infty} S_n = \iiint_D f(r,\rho,\theta)\mathop{dV} = \iiint_D f(\rho,\phi,\theta) \rho^2\sin\phi\mathop{d\rho}\mathop{d\phi}\mathop{d\theta}. $$

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如何在球面坐标系下积分

要 evaluate

$$ \iiint_D f(\rho,\phi,\theta)\mathop{dV} $$

按照 $\rho$，$\phi$，$\theta$ 的顺序积分

1. 画图 - 画出积分区域以及其在 $x\text {-} y$ 平面上的投影 $R$（前文提到过的 shadow），标出围绕成 $D$ 的曲面

2. 找到 $\rho$ 值的积分上下限 - 过原点作一条射线 $M$ 穿过 $D$，与 $z$ 轴正半轴成 $\phi$ 角。同时也画出 $M$ 在 $x\text {-} y$ 平面上的投影 $L$，与 $x$ 轴正半轴成 $\theta$ 角。标记出 $M$ 进入和离开区域 $D$ 时的 $\rho$ 值，即为对 $\rho$ 进行积分的上下限

3. 找到对 $\phi$ 积分的上下限 - 对于任意的 $\theta$，包围区域的最大、最小 $\phi$ 值即为对 $\phi$ 进行积分的上下限

4. 找到对 $\theta$ 积分的上下限 - 也即整个 $R$ 区域（或者整个 $D$ 区域）所对应的最大和最小的 $\theta$ 值

积分式可以转化为

$$ \iiint_D f(\rho,\phi,\theta)\mathop{dV} = \int_{\theta=\alpha}^{\theta=\beta} \int_{\phi=\phi_\text{min}}^{\phi=\phi_\text{max}} \int_{\rho=g_1(\phi,\theta)}^{\rho=g_2(\phi,\theta)} f(\rho,\phi,\theta)\rho^2\sin\phi \mathop{d\rho}\mathop{d\phi}\mathop{d\theta}. $$

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1. Cylindrical & Spherical Coordinates ↩︎