高等数学（下）期末复习：15.2 普遍区域上的二重积分
这一节将会讨论二重积分更 general 的形式，而非仅是在矩形区域上进行积分。
在有界、非矩形区域上的积分
与上一章节中的矩形区域情况下一样，我们依然取很多的 partition，但这一次由于区域边界并不规则，必然出现有些 partition 部分在区域内部分在区域外的情况，我们只考虑完全在区域内的 partition。
同样地，如果 partition 的数量越来越多，或者 norm 越来越小，partition 的总和就越来越能够逼近整个区域。此时的黎曼和极限
$$ \lim_{||P|| \rightarrow 0} \sum^n_{k=1} {(fx_k,y_k) \Delta A_k} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum^n_{k=1} {(fx_k,y_k) \Delta A_k} $$
就称作 $f (x,y)$ 在区域 $R$ 上的二重积分（前提是极限存在）
$$ \iint_R {f(x,y)dA} \quad \text{or} \quad \iint_R {f(x,y)dxdy} $$
有趣的事实是，绝大多数的边界形状，都会满足只要 norm 足够小，partition 填补区域的不足之处都可以被忽略 —— 只要边界由首尾相连的连续图形构成，而例外则是分形[1] 图形。
体积
跟前一节的定义类似，可以通过二重积分计算一定区域与函数曲面形成的体积。
如果区域 $R$ 由曲线 $y = g_1 (x)$ 与 $y = g_2 (x)$，以及直线 $x = a$，$x = b$ 围成，通过切片的方法，每个切片的面积可以表示为
$$ A(x) = \int^{y=g_2(x)}_{y=g_1(x)} f(x,y)dy $$
最终的体积可以表示为
$$ V = \int^b_a A(x)dx = \int^b_a \int^{g_2(x)}_{g_1(x)} dydx $$
$f$ 是高度，沿着 $dy$ 方向进行积分，得到切片面积
如果组成区域边界的 $y$ 值是常函数，那么结果也类似，即外层积分上下界都是常数，内层积分上下界是函数，不过对 $dx$，$dy$ 积分的顺序会有变化。
定理 2：Fubini 定理（加强形式） >$f (x,y)$ 是区域 $R$ 上的连续函数
- 如果 $R$ 定义为 $a \leq x \leq b$，$g_1 (x) \leq y \leq g_2 (x)$，$g_1$，$g_2$ 在 $[a,b]$ 上连续，则有
$$ \iint_R f(x.y)dA = \int^b_a \int^{g_2(x)}_{g_1(x)} dydx $$
- 如果 $R$ 定义为 $c \leq y \leq d$，$h_1 (y) \leq x \leq h_2 (y)$，$h_1$，$h_2$ 在 $[c,d]$ 上连续，则有
$$ \iint_R f(x.y)dA = \int^d_c \int^{h_2(y)}_{h_1(y)} dxdy $$
找到积分的上下界
在使用 Fubini 定理的过程中，最重要的就是找到积分的上下界来求出结果。以选择垂直于 $x$ 轴的的切片方法为例：
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画图 - 画出积分区域并标注包围区域的曲线
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找到积分的 $y$ 值上下界 - 假想有一条线从下到上穿过区域 $R$，标记这条线进入和离开 $R$ 区域时的 $y$ 值作为上下界
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找到积分的 $x$ 值上下界 - 选择包括了所有这样穿过区域的线的 $x$ 范围（也就是最小的 $x$ 和最大的 $x$）
如果选择在水平方向进行切片，步骤也类似。
二重积分的性质
连续函数的二重积分和单积分类似，也有一些代数上的推论，都比较 trivial，如线性性质，符号判别，可加性之类。这些结论都通过黎曼和极限的代数性质推论而来。
此外，很显然通过二重积分的结果不能仅用体积来解释，因为函数值可正可负，应该称之为 signed-volume。
fractal ↩︎