高等数学（下）期末复习：14.7 极值与鞍点
14.7 极值[1] 与鞍点 [2]
区域极值[3] 的导数判别
在一元函数中，通过水平切线来找到区域最大值[4]、区域最小值[5] 和 inflection 点；对应在多元函数中，通过水平切面来找到区域最大值、区域最小值和鞍点。
定义
若对于以 $(a,b)$ 为中心的一个 open disk 内的任意定义域内的点 $(x,y)$，都有 $f (a,b)\ge f (x,y)$，则称 $(a,b)$ 为 $f$ 的区域最大值反之为区域最小值
此时切平面如果存在，就是水平的。区域极值也称作相对极值 [6]。
定理 10：区域极值的一阶导数判别
如果 $f (x,y)$ 在定义域的内点[7]$(a,b)$ 处有区域最大值或最小值，，并且一阶偏导数存在，则 $f_x (a,b)=0$ 且 $f_y (a,b)=0$
REMARK：同一元函数的极值一样，导数为 0 是极值的必要而非充分条件，即使必要也是在存在导数的情况下
和偏导数的定义类似，定理 10 通过先 “固定” 一个变量，再应用一元函数中的性质来证明。
定义
使得 $f_x$ 和 $f_y$ 均为 0 或至少有一个不存在的定义域的内点称为 critical 点。
Critical 点不一定就是极值点。
定义
可微函数 $f (x,y)$ 定义域上的一点 $(a,b)$，若在以 $(a,b)$ 为中心的任意 open disk 上，都既有 $f (x,y)>f (a,b)$，又有 $f (x,y)<f (a,b)$，则称 $(a,b,f (a,b))$ 为 $f$ 的鞍点。
定理 11：区域极值的二阶导数判别
- 若 $f_{xx} <0$ 且 $f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2> 0$，则在此处 $f$ 有区域最大值
- 若 $f_{xx} > 0$ 且 $f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 > 0$，则在此处 $f$ 有区域最小值
- 若 $f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 < 0$，则在此处 $f$ 有鞍点
- 若 $f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 = 0$，则二阶导数判别不能得出结论 [8]。
表达式 $f_{xx} f_{yy}-f_{xy}^2$ 称为 $f$ 的判别式[9] 或 Hessian，也可以写成行列式形式：
$$ f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = \left | \begin{array}{c} f_{xx} & f_{xy} \ f_{xy} & f_{yy} \ \end{array} \right | $$
二阶导数判别的证明会在 14.9 中提到
Closed Bounded Regions 上的绝对最大值与最小值
- 列出 critical points
- 列出边界点 [10]
- 对比这些点的函数值