高等数学（下）期末复习：14.6 切平面与 Differential
14.6 切平面[1] 与 Differential
切平面很好理解，但是 Differential 翻译起来有点困难，记得高数 Ⅰ 的时候教授说 Differential 有点像线性化[2]？（实际上就是线性化的增量）。可能应该翻译成微分吧，前一节里的 “全微分” 可能应该叫做全导数更好。
切平面与法线 [3]
先回顾一下上一节最后的那个结论。
假定 $\mathbf {r}(t) = x (t)\mathbf {i} + y (t)\mathbf {j} + z (t)\mathbf {k}$ 是 level surface $f (x,y,z) = c$ 上的一条光滑曲线，，根据上一节的最后一部分路径链式法则的公式，有
$$ \frac{d}{dt}f(\mathbf{r}(t)) = \nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t). $$
REMARK：这个公式感觉有点 tricky，要注意一下
由于 $f (\mathbf {r}(t))$ 是一个常数 $c$（因为是 level surface），所以式子左边等于 0，也就是说右边的两个向量是正交的。推广一下，在某个点 $P_0$，这一点上的梯度向量是垂直于所有通过 $P_0$ 的路径的 velocity 向量 $\mathbf {r}'$ 的。
定义
可微函数 $f$ 的 level surface $f (x,y,z) = c$ 上一点 $P_0 (x_0,y_0,z_0)$ 处的的切平面为经过 $P_0$ 且正交于 $\nabla f|{P_0}$ 的平面。曲面在 $P_0$ 处的法线为经过 $P_0$ 且平行于 $\nabla f|{P_0}$ 的直线。
于是切平面和法线有如下的方程：
$f (x,y,z) = c$ 在 $P_0 (x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面
$$ f_x(P_0)(x-x_0) + f_y(P_0)(y-y_0) + f_z(P_0)(z-z_0) = 0 $$
$f (x,y,z) = c$ 在 $P_0 (x_0,y_0,z_0)$ 处的法线
$$ x = x_0 + f_x(P_0)t, \quad y = y_0 + f_y(P_0)t, \quad z = z_0 + f_z(P_0)t $$
前面的这些结论都是针对 level curve，但表示曲面还有另一种方式是通过方程 $z = f (x,y)$，只需要进行移项，看作一个新的三元函数即可。
曲面 $z = f (x,y)$ 在 $(x_0,y_0,f (x_0,y_0))$ 处的切平面 >$f$ 同样必须可微
$$ f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) - (z-z_0) = 0 $$
估算在特定方向上的变化值
已经有了方向导数的定义，跟一元函数的微分类似，做一个简单的变换就可以得到变化值的估算式：
估算 $f$ 在 $\mathbf {u}$ 方向上的变化
$$ df=(\nabla f|_{P_0}\cdot\mathbf{u})ds $$
二元函数的线性化
前几个章节提到了二元函数的可微条件：
$$ f(x,y) - f(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0)\Delta x + f_y(x_0,y_0)\Delta y + \epsilon_1\Delta x + \epsilon_2\Delta y $$
其中 $\epsilon_1$，$\epsilon_2$ 分别为 $\Delta x$，$\Delta y$ 的高阶无穷小，至于到底为什么就是数学分析的内容。
由此可以得到：
定义
函数 $f (x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微，那么在这个点附近可以作近似
$$ f(x,y) \approx L(x,y) = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) $$
$L (x,y)$ 称为 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的标准线性近似 [4]
对比下前文切平面的式子，发现是一样的ヾ (^▽^*)))
标准线性近似的误差
$M$ 是 $|f_{xx}|$，$|f_{xy}|$，$|f_{yy}|$ 的任何一个上界，则标准线性近似的误差 $E$ 满足
$$ |E(x,y)|\le \frac 12 M(|x-x_0|+|y-y_0|)^2 $$
误差公式的推导出现在后面的章节中。
微分 [5]
已经有了全导数的定义，做一点变形，得到
定义
从 $(x_0,y_0)$ 移动到附近的一个点 $(x_0 + dx,y_0 + dy)$，引起 $f$ 的线性化产生变化
$$ df = f_x(x_0,y_0)dx + f_y(x_0,y_0)dy $$
称作 $f$ 的全微分
多元函数
跟二元函数差不多，只是加入跟其他的变量对应的项即可。