高等数学（下）期末复习：14.5 方向导数与梯度向量
14.5 方向导数与梯度向量 [1]
（先从正在复习的部分开始吧，前面的内容如果有机会再去填坑）
引入平面上的方向导数 [2]
前一个章节里把多元函数的导数（全微分）定义为了 $f (x,y)$ 沿着两条特殊的方向，也即 $x = g (t)$ 和 $y = h (t)$ 的参数方程方向上的导数的和。这本教材里只给出了一个说明，详细的的证明需要数学分析的知识
$$ \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} $$
对应于任一点 $P (g (t),h (t))$，也即由 $t$ 的参数方程确定的整个区域上的每一点。
既然如此，我们就可以找一个方向 $\mathbf {u}=u_1\mathbf {i}+u_2\mathbf {j}$（注意是单位向量），去研究这个方向上的导数，而这条线上的点就可以对应表示为
$$x=x_0+su_1,\quad y=y_0+su_2$$
$s$ 表示的就是弧长参数，我们的目的就是对它作微分。
定义
在点 $P_0 (x_0, y_0)$ 处，沿着单位向量 $\mathbf {u}=u_1\mathbf {i}+u_2\mathbf {j}$ 的方向导数为
$$ \left(\frac{df}{ds}\right){\mathbf{u},P_0} = \lim{x \to 0}\frac{f(x_0+su_1, y_0+su_2) - f(x_0,y_0)}{s} $$
前提是这个极限存在
方向导数也可以记为 $(D_\mathbf {u} f)_{P_0}$
方向导数的含义
也就是方向向量所对应的一个平面，截多元函数曲面所得到的 trace curve 的导数。
方向导数的计算与梯度 [3]
通过链式法则来推导方向导数的计算：
$$ \begin{aligned} \left(\frac{df}{ds}\right){\mathbf{u},P_0} = & \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right){P_0} \frac{dx}{ds} + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right){P_0} \frac{dy}{ds} \ = & \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right){P_0} u_1 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right){P_0} u_2 \ = & \left[ \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right){P_0} \mathbf{i} + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{P_0} \mathbf{j} \right] \cdot \left[ u_1\mathbf{i}+u_2\mathbf{j} \right] \end{aligned} $$
也就是说，其实方向导数可以表示为某个向量与单位方向向量的内积。
定义 梯度向量[4] 为
$$ \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} $$
可以读作 "grad f" 或者 "gradient of f" 或者 "del f"，"$\nabla$“读作" del”，名为 "Nabla" 算子。
定理 9：方向导数作为点积 若 $f (x,y)$ 在包含 $P_0 (x_0,y_0)$ 的 open region 上可微，则
$$ \left(\frac{df}{ds}\right){\mathbf{u},P_0} = \left(\nabla f\right){P_0}\cdot\mathbf{u} $$
也即
$$ D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u} $$
由于 $\mathbf {u}$ 为一个单位向量，所以方向导数也可以表示为 $|\nabla f|\cos \theta$，于是就有与特殊夹角有关的一些结论。
梯度与 Level Curves 的切线
依然利用链式法则：
$$ \begin{aligned} \frac{d}{dt}f(g(t),h(t)) & = \frac{d}{dt}© \ \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dg}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dh}{dt} & = 0 \ \underbrace{\left( \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} \right)}{\nabla f} \cdot \underbrace{\left( \frac{dg}{dt}\mathbf{i} + \frac{dh}{dt}\mathbf{j} \right)}{\frac{d\mathbf{r}}{dt}} & = 0 \end{aligned} $$
也就是说，梯度向量与 Level Curves 的切线方向是正交的。
Level Curve 的切线
$$ f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) = 0 $$
梯度的代数法则 符合线性条件，此外 $\nabla (fg) = f\nabla g + g\nabla f$ >$ \displaystyle\nabla \left (\frac fg \right) = \displaystyle\frac {g\nabla f - f\nabla g}{g^2} $
有点类似于复合函数的导数（实际上不就是导数吗）。
三元函数
以上结论都适用，只需对应替换成三元的向量即可。
路径的链式法则
假定有一条平滑的路径 $C:\mathbf {r}(t) = x (t)\mathbf {i} + y (t)\mathbf {j} + z (t)\mathbf {k}$，又有一个标量函数 $w = f (\mathbf {r}(t))$，根据定义，$f$ 的全微分就可以表示为
$$ \frac{d}{dt}f(\mathbf{r}(t)) = \nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) $$